| 磁性流体静力学方程及其应用 |
| 赵猛 邹继斌 胡建辉 徐永向 |
| （哈尔滨工业大学 电气工程系 黑龙江 哈尔滨 150001） |
摘 要: 磁性流体静力学方程是磁性流体的基本方程之一，是磁性流体应用的基础。本文从磁性流体在磁场中的受力情况出发，推导了磁性流体静力学方程，并利用基本方程分析了长直导线对磁性流体的作用和磁场作用下磁性流体表观密度的变化。
关键词: 磁性流体 静力学方程 磁场
中图分类号: O361
Magnetic Fluid Statics Equation
and its Application
Zhao Meng, Zou Jibin, Hu Jianhui, Xu Yongxiang
(Department of Electrical Engineering For HIT, Harbin 150001)
Abstract: The magnetic fluid statics equation is the
one of basic equation on the magnetic fluid. It is the basic application
of the magnetic fluid. The statics equation is studied by the magnetic
fluid forced in the magnetic field. The character of the magnetic fluid
under the lead and the apparent density of the magnetic fluid under the
magnetic field are analyzed by the statics equation.
Key words: magnetic fluid; statics equation; magnetic
field
引言
磁性流体静力学方程是磁性流体的基本方程之一，是研究处于静止或匀速运动的平衡状态下磁性流体的力学理论基础。
本文通过磁性流体在磁场中的受力情况推导磁性流体的静力学方程，并将基本方程用于分析长直导线磁场对磁性流体的作用以及在磁场作用下磁性流体的密度特性。
1. 磁性流体静力学方程
磁场中磁性介质所受体积力为
其中，B为外磁场磁感应强度矢量，M为外磁场磁化强度矢量。
对于各向同性介质，可以推得
根据流体静力学基本方程
可以推得磁性流体内任意点的压强 p[1]为
其中，ρ为磁性流体的密度，h为磁性流体内任意一点到参考点的距离，C为积分常数，由边界条件确定。
式（4）是磁性流体静力学方程[2]的基本形式，是磁性流体应用的理论基础。
2. 磁性流体静力学方程的应用实例
（1）通电长直导线对磁性流体的作用
图1所示为垂直长直导线作用下磁性流体液面的形状。
由于磁性流体液面上压强恒定，因此，由公式(4)可以得出
若不考虑h的方向性，那么，式（5）可以写成
通常情况下，在以长直导线中心线为轴线一定半径内，即 较小时，可以认为磁场较强，磁性流体处于饱和磁化状态，其磁化强度近似等于饱和磁化强度，公式(6)可以改写成
从式(7)中可以看出，磁性流体的液面升高同磁感应强度成正比。
不计磁性流体对磁场的影响时，通电长直导线产生的磁场
将式(8)代入式(7)中可以得出
其中，c’为常数。
从公式(9)可以看出，电流一定时，磁性流体的液面随着距导线中心的距离r增加而降低，其形状为双曲线[3]。
公式(9)是在磁场较强的前提下推导的结果，但在实际情况中，随着距离r的增加，磁场的强度将减弱。这样，在距中心线较远处的磁性流体就会处于不饱和状态，此时就必须考虑磁性流体的非线性问题。
磁性流体中的磁性来源于其中的磁性微粒。磁场对磁性流体液面形状和分布有一定的影响，同时磁性流体液面形状反过来对磁场也会产生影响。于是，就存在磁场和
力场的耦合问题。通过解耦计算可以求得长直导线作用下磁性流体的截面形状。图2所示为电流一定时，载流导体磁场中磁性流体液面沿径向r变化的数值计算结
果。
图3所示为通电长直导线磁场作用下磁性流体液面形状的照相结果，计算与实验结果相一致。可以看出，随着导线通电电流的增加，磁性流体的液面将升高。基于这一特性可以将磁性流体用于电流传感[4]。
（2）磁场作用下磁性流体密度的变化
根据磁性流体静力学方程，可以得出
即外加磁场后磁性流体的密度发生了变化，磁场越强，则密度变化越大。这种由于外加磁场后磁性流体表现出的密度称为表观密度。
外加磁场对磁性流体密度的影响可以通过实验进行验证，图4所示为磁性流体表观密度测试的示意图。
通过有限元法可以计算出图4所示线圈产生的磁场，图5为磁场分布的计算结果，其中图（a）通电线圈磁场分布结
果；（b）通电线圈中心轴上磁感应强度分布结果。由于外加磁场与线圈电流成正比，所以计算某一定电流产生的磁场，即可得到磁场与电流的关系。实验中将密度
已知的非磁性重物置于磁性流体中，线圈通以电流，保持重物在磁性流体中的位置不变，读取弹簧秤的数值，即可测出磁性流体的浮力，从而测得磁性流体的密度。
图6所示为磁性流体密度与磁场强度关系。其中磁性流体的饱和磁化强度为259Gs，自身密度为1.35g/mm３ 。从曲线变化趋势可以看出，随着磁场强度的不断增加，磁性流体的密度成比例的增加。利用这一特性可以将磁性流体用于不同密度物质的分选，如选矿等。
3.结论
①磁性流体静力学方程是磁性流体的基本方程，是磁性流体静力学应用的基础。
②长直导线形成的磁场作用于磁性流体时，磁性流体液面的升高与通电电流的平方成正比，同液面到长直导线中心线的距离成反比；其液面形状为双曲线形；
③在磁场的作用下，磁性流体的密度随着磁场强度的增大而增加，并且磁性流体的密度同磁场的变化成正比例关系。
参考文献：
[1] 邹继斌等. 磁性流体密封原理与设计. 国防工业出版社[M]. 2000
Zou Jibin. Fundametals and Design Method of Magnetic Fluid Seals. [M]
National Defence Industry Press. 2000
[2] R.Friedrichs, A.Engel.Statics and dynamics of a Single Freefluid-pesk.
The European Physical Journal B. 2000, (18): 329-335
[3] Victor Bashtovoi, etc. Magnetic Field Effect on Capillary Rise of
Magnetic Fluids. JMMM. 2005, (289): 376-378
[4] M.I.Piso. Applications of Magnetic Fluids for Inertial Sensors. JMMM.
1999, (201): 380-384